Rumus Turunan dan Contoh Soal Pembahasan

Ok sahabat kali ini kita akan membahas mengenai turunan dalam Ilmu Matematika dimana tentu saja akan kamu dapatkan rumus kemudian contoh soal dasar sampai dengan yang lumayan susah dalam mengasah pengetahuan kalian mengenai turunan ini tentu saja. Kita akan bahas dulu dari sisi pengertianya dimana Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan  disebut diferensiasi.

  • 02
  • 03
  • 05
  • 06 adalah simbol untuk turunan pertama.
  • 06 adalah simbol untuk turunan kedua.
  • 06 adalah simbol untuk turunan ketiga.

simbol lainnya selain 06 dan 06 adalah 07 dan 08

TURUNAN PERTAMA

Misalnya  y merupakan fungsi dari x atau dapat ditulis juga y=f(x). Turunan dari y terhadap x dinotasikan sebagai berikut:

09

Dengan menngunakan definisi turunan diatas dapat diturunkan beberapa rumus-rumus turunan, yaitu :

1. Jika diketahui 010dimana C dan n konstanta real, maka 011

Perhatikan contoh berikut :

012

2. Jika diketahui  y=C dan  013

Perhatikan contoh berikut :

014

3. Untuk y=f(x)+g(x) maka 015

Perhatikan contoh berikut :

4. Untuk y=f(x).g(x) maka

017

atau dapat juga kita misalkan f(x)=u dan g(x)=v sehingga rumus turunan u.v=u’v+uv’

contoh :

018

TURUNAN KEDUA

Turunan kedua dari y=f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut

Turunan kedua merupakan turunan yang diperoleh dengan menurunkan kembali turunan pertama. Perhatikan contoh berikut :

002

Penggunakan untuk turunan kedua ini antara lain untuk :

a. Menentukan gradien garis singgung kurva

Jika diketahui garis g menyinggung kurva y=f(x) pada titik (a,f(a)) sehingga gradien untuk g adalah

024

Sebagai contoh tentukanlah gradien garis singgung dari kurva y=x²+3x dititik (1,-4) !

Penyelesaian :

025

Sehingga gradien garis singgung kurva y=x²+3x dititik (1,-4) adalah m=y(1)=2.1+3=5

b. Menentukan apakah interval tersebut naik atau turun

kurva y =f(x) naik jika f ‘ (x) >0  dan  kurva y=f(x) turun jika f ‘ (x) <0. Lalu bagaimana cara menentukan  f ‘ (x) > 0  atau  f ‘ (x) <0 ? kita gunakan garis bilangan dari f ‘ (x). Perhatikan contoh berikut :

Tentukanlah interval naik dan interval turun dari fungsi y=x³+3x²-24x !

Jawab :

y=f(x)=x³+3x²-24x →f ‘ (x)=3x²+6x-24=3(x²+2x-8)=3(x+4)(x-2)

026

Berdasarkan garis bilangan yang diperoleh diatas :

f ‘ (x) >0 untuk x<-4 dan x>2 yang merupakan interval untuk fungsi naik.

F ‘ (x) <0 untuk -4 < x < 2 yang merupakan interval untuk fungsi turun.

c. Menentukan nilai maksimum dan nilai minimum

Nilai maksimum dan nilai minimum fungsi ini sering disebut juga dengan nilai ekstrim atau nilai stasioner fungsi, yang dapat diperoleh pada f ‘ (x)=0 untuk fungsi y=f(x). Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Tentukan nilai ekstrim dari fungsi y=x³-3x²-24x-7 !

Jawab :

y’=3x²-6x-24

nilai ekstrim diperoleh dari y’=o maka

3x²-6x-24 = 0

(x²-2x-8)=0

(x-4)(x+2)=0

x1=4 ; x2=-2

027

Berdasarkan garis bilangan diatas :

Fungsi maksimum pada x=-2 sehingga nilai balik maksimumnya yaitu :

f(-2)=(-2)³-3(-2)²-24(-2)-7

f(-2)=21

Fungsi minimum pada x=4 sehingga nilai balik minimumnya yaitu :

f(4)=(4)³-3(4)²-24(4)-7

f(4)=-87

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Berikut ini rumus untuk turunan fungsi trigonometri :

030

/* */