Materi Contoh soal dan pembahasan vektor SMA kelas 12 Tuntas

Untuk memahami lebih jauh mengenai materi Vektor di kelas 12 Maka sahabat haruslah sering sering dalam menyelesaikan berbagai model Contoh soal dan pembahasan vektor ini karena berbeda soal maka cara penyelesainya juga tidaklah sama. Dalam kesempatan ini kami akan mencoba share ringkasan materi vektor untuk membuka ingatan sahabat kembali kemudian nanti akan mencoba memberikan beberapa contoh soal terbaru dan pembahasanya. Vektor merupakan sebuah jenis besaran dari dua jenis besaran yang tidak sama. Kedua besaran ini terbagi menjadi besaran skalar dan vektor.

  • Besaran Skalar ( besaran yang hanya memiliki besar (nilai), contohnya waktu, suhu, volume, dsb.
  • Besaran vektor ( merupakan jenis besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah, contohnya kecepatan, momentum, gaya, dsb.

Kemudian vektor sendiri di gambarkan dengan besaran dua arah, dimana Vektor di ruang dimensi dua (R^{2})didefinisikan sebagai pasangan berurutan dua buah bilangan real \left( x, y \right) atau bentuk bersusun seperti \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. Sedangkan pada ruang dimensi tiga (R^{3}) dinyatakan dalam sebuah urutan bilangan real \left( x, y, z \right)atau bentuk \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}.

Untuk vektor di ruang dimensi yang lebih tinggi bentuknya akan mengikuti, seperti pada ruang dimensi 4 yang dinyatakan dalam urutan empat bilangan real. Vektor disimbolkan melalui huruf kecil yang diberi tanda anak panah di atasnya. Selain itu vektor juga dapat disimbolkan dengan huruf kecil yang dicetak tebal atau huruf kecil dengan ruas garis di atasnya.

Materi Vektor Matematika SMA

Titik A disebut titik pangkal (titik tangkap atau titik asal) dan titik B disebut titik ujung (terminal) dari vektor \vec{a}. Panjang vektor \vec{a} adalah panjang ruas garis AB yang dinyatakan dalam simbol di bawah.

  \[  \left | \vec{a} \right | = \left | \vec{AB} \right |\]

Vektor pada Ruang Dimensi Dua (R^{2})

Materi vektor matematika sma yang akan dibahas pertama adalah vektor di ruang dimensi dua. Ruang dimensi dua merupakan bidang datar yang memiliki dua sumbu yaitu sumbu x dan sumbu y. Jadi, vektor yang berada pada ruang dimensi dua memiliki dua faktor penentu arah, yaitu sumbu x dan sumbu y. Cara menyatakan vektor pada ruang dimensi dua berupa susunan bilangan real, di mana urutan pertama merupakan arah untuk absis (sumbu-x) dan urutan kedua merupakan arah untuk ordinat (sumbu-y).

Penulisan vektor satu satuan pada ruang dimensi dua di sumbu x positif:

  \[ \hat{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]

Penulisan vektor satu satuan pada ruang dimensi dua di sumbu y positif:

  \[ \hat{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Perhatikan gambar di bawah!

Penjumlahan Dua Vektor di Ruang Dimensi DuaKeterangan:

  \[ \vec{a} = \left( x_{1}, y_{1} \right) \]

  \[ \vec{b} = \left( x_{2}, y_{2} \right) \]

  \[ \vec{c} = \left( x_{2} - x_{2}, y_{2} - y_{1} \right) \]

Sebuah vektor dapat ditentukan panjangnya berdasarkan keterangan pada arah vektor. Jika sebuah vektor disimbolkan dengan \vec{a} maka panjang vektor dinotasikan dengan \left| \vec{a} \right|. Rumus panjang \vec{a}\vec{b}, dan \vec{c}adalah sebagai berikut.

Rumus Panjang Vektor

Vektor di Ruang Dimensi 3

Pembahasan selanjutnya adalah vektor di Ruang Dimensi 3. Arah vektor pada ruang dimensi tiga ditentukan oleh tiga faktor penentu arah, yaitu sumbu-x, sumbu y, dan sumbu-z. Cara menyatakan vektor pada ruang dimensi tiga berupa susunan bilangan real, di mana urutan pertama merupakan arah untuk sumbu-x, urutan ke dua untuk arah untuk sumbu-y, dan urutan ke tiga untuk arah sumbu-z.

Vektor-vektor satuan pada sumbu x positif, y positif, dan z positif berturut-turut dapat dilihat seperti persamaan di bawah.

  \[ \hat{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]

  \[ \hat{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]

  \[ \hat{k} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Selanjutnya, perhatikan gambar vektor pada ruang dimensi tiga di bawah!

Vektor di Ruang Dimensi Tiga
Vektor pada ruang dimensi tiga juga dapat diketahui panjangnya melalui koordinat arah pada simbol vektor. Jika P(x, y, z) adalah sembarang titik di ruang dimensi tiga, maka panjang vektor tersebut dapat dihitung melalui rumus berikut.

Contoh Soal Vektor dan Jawaban

Soal No. 1
Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q

a) Nyatakan PQ dalam bentuk vektor kolom
b) Nyatakan PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan)
c) Tentukan modulus atau panjang vektor PQ

Pembahasan
Titik P berada pada koordinat (3, 1)
Titik Q berada pada koordinat (7,4)
a) PQ dalam bentuk vektor kolom

b) PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan)
PQ = 4i + 3j

c) Modulus vektor PQ

Soal No. 2
Perhatikan gambar kubus dengan sisi sepanjang 10 satuan berikut:

Titik S tepat berada pada perpotongan kedua diagonal sisi alas kubus. Tentukan:
a) Koordinat titik S
b) Koordinat titik V
c) Vektor SV dalam bentuk kolom
d) SV dalam bentuk vektor satuan
e) Modulus atau panjang SV

Pembahasan
a) Koordinat titik S
x = 5
y = 0
z = 5
(5, 0, 5)

b) Koordinat titik V
x = 10
y = 10
z = 0
(10, 10, 0)

c) Vektor SV dalam bentuk kolom

d) SV dalam bentuk vektor satuan
SV = 5i + 10j − k

e) Modulus atau panjang SV

Soal No. 3
Diberikan dua buah vektor masing-masing a = 9 dan b = 4. Nilai cosinus sudut antara kedua vektor adalah 1/3 . Tentukan:
a) |a + b|
b) |a – b|

Pembahasan
a) |a + b|
Jumlah dua buah vektor

b) |a – b|
Selisih dua buah vektor

Soal No. 4
Dua buah vektor masing-masing:
p = 3i + 2j + k
q = 2i – 4 j + 5k

Tentukan nilai cosinus sudut antara kedua vektor tersebut!

Pembahasan
Jumlahkan dua buah vektor dalam i, j, k

Dengan rumus penjumlahan

Soal No. 5
Diketahui vektor a = 2i – 6j – 3k dan b = 4i + 2j – 4k . Panjang proyeksi vektor a pada b adalah…..
A. 4/3
B. 8/9
C. ¾
D. 3/8
E. 8/36
(Soal Ebtanas Tahun 2000)

Pembahasan
Panjang masing-masing vektor, jika nanti diperlukan datanya:

Proyeksi vektor a pada vektor b, namakan c:

Soal No. 6
Diketahui vektor a = 4i − 2j + 2k dan vektor b = 2 i − 6 j + 4k. Proyeksi orthogonal vektor a pada vektor b adalah….
A. i − j + k
B. i − 3j + 2k
C. i − 4j + 4k
D. 2i − j + k
E. 6i − 8j + 6k
(Dari Soal UN Matematika Tahun 2011 Paket 12)

Pembahasan
Proyeksi vektor a pada vektor namakan c, hasil akhirnya dalam bentuk vektor (proyeksi vektor ortogonal).

 

Soal No. 7
Besar sudut antara vektor a = 2i − j + 3k dan b = i + 3j − 2k adalah….
A. 1/8 π
B. 1/4 π
C. 1/3 π
D. 1/2 π
E. 2/3 π
(Soal Ebtanas 1988)

Pembahasan
Sudut antara dua buah vektor:

Soal No. 8
Ditentukan A(4 , 7 , 0) , B(6 , 10 , –6) dan C(1 , 9 , 0). AB dan AC wakil-wakil dari vektor u dan v. Besar sudut antara u dan v adalah….
A. 0
B. 1/4 π
C. 1/2 π
D. 3/4 π
E. π
(Soal Ebtanas 1989 – Vektor)

Pembahasan
Tentukan vektor u dan v terlebih dulu:
u = AB = B − A = (6 , 10 , –6) − (4 , 7 , 0) = (2, 3, −6) → u = 2i + 3j − 6k
v = AC = C − A = (1 , 9 , 0) − (4 , 7 , 0) = (− 3, 2, 0) → v = − 3i + 2j

Sudut dengan nilai cosinus nol adalah 90° atau 1/2 π

Soal No. 9

Diketahui Proyeksi skalar 2u + 3v pada v adalah….

A. 1/2
B. 1/2 √2
C. 1/14√14
D. 2√14
E. 7/2√14

Pembahasan
2u + 3v misalkan dinamakan r

Proyeksi vektor r pada v misal namanya s adalah

Soal No. 10
Diberikan tiga buah vektor masing-masing:
a = 6p i + 2p j − 8 k
b = −4 i + 8j + 10 k
c = − 2 i + 3 j − 5 k

Jika vektor a tegak lurus b, maka vektor a − c adalah…..
A. − 58 i − 20 j − 3k
B. − 58 i − 23 j − 3k
C. − 62 i − 17 j − 3k
D. − 62 i − 20 j − 3k
E. − 62 i − 23 j − 3k

Pembahasan
Tentukan nilai p terlebih dahulu, dua vektor yang tegak lurus maka perkalian titiknya sama dengan nol. a dan b tegak lurus maka berlaku:

a ⋅ b = 0

(6p i + 2p j − 8 k)⋅ (−4 i + 8j + 10 k) = 0
− 24p + 16p − 80 = 0
− 8p = 80
p = − 10

Dengan demikian vektor a adalah
a = 6p i + 2p j − 8 k
a = 6(− 10) i + 2(− 10) j − 8 k
a = −60 i − 20 j − 8 k

a − c = ( −60 i − 20 j − 8 k) − (− 2 i + 3 j − 5 k)
a − c = − 58 i − 23 j − 3k

/* */